Smooth generalized linear models for aggregated data

Abstract

Aggregated data commonly appear in areas such as epidemiology, demography, and public health. Generally, the aggregation process is done to protect the privacy of patients, to facilitate compact presentation, or to make it comparable with other coarser datasets. However, this process may hinder the visualization of the underlying distribution that follows the data. Also, it prohibits the direct analysis of relationships between aggregated data and potential risk factors, which are commonly measured at a finer resolution. Therefore, it is of interest to develop statistical methodologies that deal with the disaggregation of coarse health data at a finer scale. For example, in the spatial setting, it could be desirable to obtain estimates, from coarse areal data, at a fine spatial grid or units less coarser than the original ones. These two cases are known as the area-to-point (ATP) and area-to-area (ATA) cases, respectively, which are illustrated in the first chapter of this thesis. Moreover, we can have spatial data recorded at coarse units over time. In some cases, the temporal dimension can also be in an aggregated form, hindering the visualization of the evolution of the underlying process over time. In this thesis we propose the use of a novel non-parametric method that we called composite link mixed model or, more succinctly, CLMM. In our proposed model, we look at the observed data as indirect observations of an underlying process (defined at a finer resolution than observed data), which we want to estimate. The mixed model formulation of our proposal allow us to include fine-scale population information and complex structures as random effects as parts of the modelling of the underlying trend. Since the CLMM is based on the approach given by Eilers (2007), called penalized composite link model (PCLM), we briefly review the PCLM approach in the first section of the second chapter of this thesis. Then, in the second section of this chapter, we introduce the CLMM approach under an univariate setting, which can be seen as a reformulation of the PCLM into a mixed model framework. This is achieved by following the mixed model reformulation of P-splines proposed in Currie and Durbán (2002) and Currie et al. (2006), which is also reviewed here. Then, the parameter estimation of the CLMM can be done under the framework of mixed model theory. This offers another alternative for the estimation of the PCLM, avoiding the use of information criteria for smoothing parameter selection. In the third section of the second chapter, we extend the CLMM approach to the multidimensional (array) case, where Kronecker products are involved in the extended model formulation. Illustrations for the univariate and the multidimensional array settings are presented throughout the second chapter, using mortality and fertility datasets. In the third chapter, we present a new methodology for the analysis of spatially aggregated data, by extending the CLMM approach developed in the second chapter to the spatial case. The spatial CLMM provides smoothed solutions for the ATP and ATA cases described in the first chapter, i.e., it gives a smoothed estimation for the underlying spatial trend, from aggregated data, at a finer resolution. The ATP and ATA cases are illustrated using several mortality (or morbidity) datasets, and simulation studies of the prediction performance between our approach and the area-to-point Poisson kriging of Goovaerts (2006) are realized. Also, in the third chapter we provide a methodology to deal with the overdispersion problem, which is based on the PRIDE (‘penalized regression with individual deviance effects’) approach of Perperoglou and Eilers (2010). In the fourth chapter, we generalize the methodology developed in the third chapter for the analysis of spatio-temporally aggregated data. Under this framework, we adapt the SAP (‘separation of anisotropic penalties’) algorithm of Rodríguez- Álvarez et al. (2015) and the GLAM (‘generalized linear array model’) algorithms given in Currie et al. (2006) and Eilers et al. (2006), to the CLMM context. The use of these efficient algorithms allow us to avoid possible storage problems and to speed up the computational time of the model estimation. We illustrate the methodology presented in this chapter by using a Q fever incidence dataset recorded in the Netherlands at municipality level and by months. Our aim, then, is to estimate smoothed incidences at a fine spatial grid over the study area throughout the 53 weeks of 2009. A simulation study is provided at the end of chapter four, in order to evaluate the prediction performance of our approach under three different coarse situations, using a detailed (and confidential) Q fever incidence dataset. Finally, the fifth chapter summarizes the main contributions made in this thesis and further work.Datos agregados aparecen comúnmente en áreas como la epidemiología, demografía, y salud pública. Generalmente, el proceso de agregación es efectuado para proteger la privacidad de los pacientes, para facilitar una presentación compacta, o para hacerlos comparables con otros conjuntos de datos más gruesos. Sin embargo, este proceso puede dificultar la visualización de la distribución subyacente que siguen los datos. Además, prohíbe el análisis directo de relaciones entre los datos agregados y factores de riesgos potenciales, los cuales son medidos usualmente en una resolución más fina. En consecuencia, es de interés el desarrollar metodologías estadísticas que traten la desagregación de datos de salud gruesos a una escala más fina. Por ejemplo, en el caso espacial, podría ser deseable obtener estimaciones, a partir de datos disponibles en unidades geográficas gruesas, en una malla espacial fina o en unidades menos gruesas que las originales. Estos dos casos se conocen como los casos área-a-punto (ATP, ‘area-to-point’) y área-a-área (ATA, ‘area-to-area’), respectivamente, los cuales son ilustrados en el primer capítulo de esta tesis. Más aún, podemos tener datos espaciales registrados en unidades geográficas gruesas a lo largo del tiempo. En algunos casos, la dimensión temporal también puede estar en una forma agregada, dificultando la visualización de la evolución del proceso subyacente a lo largo del tiempo. En esta tesis proponemos el uso de un novedoso método no-paramétrico que llamamos modelo mixto de enlace compuesto o, más brevemente, CLMM (‘composite link mixed model’). En nuestro modelo propuesto, miramos a los datos observados como observaciones indirectas de un proceso subyacente (definido en una resolución más fina que los datos observados), el cual queremos estimar. La formulación de modelo mixto en nuestra propuesta nos permite incluir información de la población medida en una escala fina y estructuras complejas como efectos aleatorios, como partes de la modelización de la tendencia subyacente. Dado que el CLMM est´a basado en el enfoque dado por Eilers (2007), llamado modelo de enlace compuesto penalizado (PCLM, ‘penalized composite link model’), revisaremos brevemente el enfoque PCLM en la primera sección del segundo capítulo de esta tesis. Luego, en la segunda sección de este capítulo, introduciremos el enfoque CLMM bajo un marco univariante, el cual puede ser visto como una reformulación del PCLM en un marco de modelo mixto. Esto es logrado siguiendo la reformulación como modelo mixto de los P-splines propuestos por Currie y Durbán (2002) y Currie et al. (2006), el cual es también revisado aquí. Luego, la estimación de parámetros del CLMM puede hacerse bajo el marco de la teoría de los modelos mixtos. Esto ofrece otra alternativa para la estimación del PCLM, evitando el uso de criterios de información para la selección del parámetro de suavizado. En la tercera sección del segundo capítulo, extendemos el enfoque CLMM al caso (array) multidimensional, en donde productos de Kronecker están implicados en la formulación del modelo extendido. Ilustraciones para los casos univariantes y (array) multidimensional son presentados a lo largo del segundo capítulo, usando conjuntos de datos de mortalidad y fertilidad. En el tercer capítulo, presentamos una nueva metodología para el análisis de datos agregados espacialmente, extendiendo el enfoque CLMM desarrollado en el segundo capítulo al caso espacial. El CLMM espacial proporciona soluciones suavizadas para los casos ATP y ATA descritos en el primer capítulo, es decir, entrega una estimación suavizada para la tendencia espacial subyacente, a partir de datos agregados, en una resolución más fina. Los casos ATP y ATA son ilustrados usando diferentes conjuntos de datos de mortalidad (o morbilidad), y estudios de simulación sobre el desempeño de predicción entre nuestro enfoque y el Poisson kriging área-a-punto de Goovaerts (2006) son realizados. Además, en el tercer capítulo proporcionamos una metodología para lidiar con el problema de sobredispersión, el cual está basado en el enfoque PRIDE (‘penalized regression with individual deviance effects’) de Perperoglou y Eilers (2010). En el cuarto capítulo, generalizamos la metodología desarrollada en el tercer capítulo para el análisis de datos agregados espacio-temporalmente. Bajo este contexto, adaptamos el algoritmo SAP (‘separation of anisotropic penalties’) de Rodríguez- Álvarez et al. (2015) y los algoritmos GLAM (‘generalized linear array model’) dados por Currie et al. (2006) y Eilers et al. (2006) en el contexto de los CLMMs. El uso de estos algoritmos eficientes nos permite evitar posibles problemas de almacenamiento y acelerar el tiempo de cómputo de la estimación del modelo. Ilustramos la metodología presentada en este capítulo usando un conjunto de datos sobre incidencia de fiebre Q registradas en Holanda a nivel municipal y por meses. Nuestro objetivo, luego, es el de estimar incidencias suavizadas en una malla espacial fina sobre el área de estudio a lo largo de las 53 semanas del 2009. Un estudio de simulación es dado al final del cuarto capítulo, de manera de evaluar el desempeño de predicción de nuestro enfoque bajo tres diferentes situaciones de agregación, usando un conjunto de datos detallado (y confidencial) de incidencia de fiebre Q. Finalmente, el quinto capítulo resume las contribuciones principales hechas en esta tesis y el trabajo a futuro.